数据结构与算法 非线性数据结构-二叉树
「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含一个「值」和两个「指针」。
节点的两个指针分别指向「左子节点」和「右子节点」，同时该节点被称为这两个子节点的「父节点」。当给定一个二叉树的节点时，我们将该节点的左子节点及其以下节点形成的树称为该节点的「左子树」，同理可得「右子树」。
在二叉树中，除叶节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树。例如，在以下示例中，若将“节点 2”视为父节点，则其左子节点和右子节点分别是“节点 4”和“节点 5”，左子树是“节点 4 及其以下节点形成的树”，右子树是“节点 5 及其以下节点形成的树”。
二叉树常见术语
二叉树涉及的术语较多，建议尽量理解并记住。
- 「根节点 Root Node」：位于二叉树顶层的节点，没有父节点；
- 「叶节点 Leaf Node」：没有子节点的节点，其两个指针均指向 null ；
- 节点的「层 Level」：从顶至底递增，根节点所在层为 1 ；
- 节点的「度 Degree」：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的范围是 0, 1, 2 ；
- 「边 Edge」：连接两个节点的线段，即节点指针；
- 二叉树的「高度」：从根节点到最远叶节点所经过的边的数量；
- 节点的「深度 Depth」 ：从根节点到该节点所经过的边的数量；
- 节点的「高度 Height」：从最远叶节点到该节点所经过的边的数量；
我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，但有些题目可能会将其定义为“走过节点的数量”。在这种情况下，高度和深度都需要加 1 。
二叉树基本操作
初始化二叉树。与链表类似，首先初始化节点，然后构建引用指向（即指针）。
插入与删除节点。与链表类似，通过修改指针来实现插入与删除节点。
常见二叉树类型
完美（完全）二叉树
「完美二叉树 Perfect Binary Tree」除了最底层外，其余所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 0 ，其余所有节点的度都为 2 ；若树高度为 h ，则节点总数为 2^{h+1} - 1 ，呈现标准的指数级关系，反映了自然界中常见的细胞分裂现象。
完全二叉树
「完全二叉树 Complete Binary Tree」只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。
完满二叉树
「完满二叉树 Full Binary Tree」除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。
平衡二叉树
「平衡二叉树 Balanced Binary Tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。
如下表所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶节点数量、节点总数、高度等达到极大或极小值。
| 完美二叉树 | 链表 | |
|---|---|---|
| 第 i 层的节点数量 | 2^{i-1} | 1 |
| 树的高度为 h 时的叶节点数量 | 2^h | 1 |
| 树的高度为 h 时的节点总数 | 2^{h+1} - 1 | h + 1 |
| 树的节点总数为 n 时的高度 | log2 (n+1) - 1 | n - 1 |
二叉树的遍历
二叉树的遍历是指不重复地访问二叉树（非线性结构）中的所有结点。在先左后右的原则下，根据访问根结点的次序不同，二叉树的遍历可以分为3种：前序遍历、中序遍历、后序遍历。
- 前序遍历（DLR）：若二叉树为空，则空操作，否则访问根节点，然后前序遍历左子树，前序遍历右子树。（“前”的含义是，访问根结点在访问子树之前；）
- 中序遍历（LDR）：访问根结点在访问左子树和访问右子树两者之间；
- 后序遍历（LRD）：最后访问根结点；