数据结构与算法 非线性数据结构-堆
堆
「堆 Heap」是一种满足特定条件的完全二叉树，可分为两种类型：
- 「大顶堆 Max Heap」，任意节点的值 ≥ 其子节点的值；
- 「小顶堆 Min Heap」，任意节点的值 ≤ 其子节点的值；
堆作为完全二叉树的一个特例，具有以下特性：
- 最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满。
- 我们将二叉树的根节点称为「堆顶」，将底层最靠右的节点称为「堆底」。
- 对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（即根节点）的值分别是最大（最小）的。
堆常用操作
需要指出的是，许多编程语言提供的是「优先队列 Priority Queue」，这是一种抽象数据结构，定义为具有优先级排序的队列。
实际上，堆通常用作实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小顺序出队的优先队列。从使用角度来看，我们可以将「优先队列」和「堆」看作等价的数据结构。
堆的常用操作见下表，方法名需要根据编程语言来确定。
| 方法名 | 描述 | 时间复杂度 |
|---|---|---|
| push() | 元素入堆 | O(logn) |
| pop() | 堆顶元素出堆 | O(logn) |
| peek() | 访问堆顶元素（大 / 小顶堆分别为最大 / 小值） | O(1) |
| size() | 获取堆的元素数量 | O(1) |
| isEmpty() | 判断堆是否为空 | O(1) |
在实际应用中，我们可以直接使用编程语言提供的堆类（或优先队列类）。
类似于排序算法中的“从小到大排列”和“从大到小排列”，我们可以通过修改 Comparator 来实现“小顶堆”与“大顶堆”之间的转换。
堆的实现
下文实现的是大顶堆。若要将其转换为小顶堆，只需将所有大小逻辑判断取逆（例如，将 ≥ 替换为 ≤ ）。
完全二叉树非常适合用数组来表示，由于堆正是一种完全二叉树，我们将采用数组来存储堆。
当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。节点指针通过索引映射公式来实现。
具体而言，给定索引 i ，其左子节点索引为 2i + 1 ，右子节点索引为 2i + 2 ，父节点索引为 (i - 1) / 2（向下取整）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。
访问堆顶元素
堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素。
元素入堆
给定元素 val ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏。因此，需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点，这个操作被称为「堆化 Heapify」。
考虑从入堆节点开始，从底至顶执行堆化。具体来说，我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无需交换的节点时结束。
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设节点总数为 n ，则树的高度为 O(logn) 。由此可知，堆化操作的循环轮数最多为 O(logn) ，元素入堆操作的时间复杂度为 O(logn) 。
堆顶元素出堆
堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采取以下操作步骤：
- 交换堆顶元素与堆底元素（即交换根节点与最右叶节点）；
- 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，实际上删除的是原来的堆顶元素）；
- 从根节点开始，从顶至底执行堆化；
顾名思义，从顶至底堆化的操作方向与从底至顶堆化相反，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换；然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无需交换的节点时结束。
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与元素入堆操作相似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为 O(logn) 。
堆常见应用
- 优先队列：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为 O(logn) ，而建队操作为 O(n) ，这些操作都非常高效。
- 堆排序：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据。
- 获取最大的 k 个元素：这是一个经典的算法问题，同时也是一种典型应用，例如选择热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取销量前 10 的商品等。